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Phybi
Math group
Carridon University
这是一个简单的问题：在一张长方形台球桌上，让一个桌球从一条边的某点以某个角度射出，无能量损耗的情况下，何种情况下桌球经历有限次反弹，能回到原点？简单而不失一般性起见，我们考虑两种类型的桌子，一种是正方形，一种是1:2的长方形，均设原点在长边的中点.
并且我们规定，如果球正好撞在四个角上，则反弹终止，称这四个角为“死点”，称初始点为死点解. 我们还需要考虑什么时候会出现死点.我们称第i次碰撞为i阶碰撞，称到达死点前如经历i次碰撞，称该死点为某x1下的i阶死点，称经历i次碰撞回到原点的碰撞过程，为i阶循环.
下面简述计算方法. 首先，不难证明，第i+2次反弹后的直线轨迹，会平行于第i次反弹后的曲线.
图1 平行轨迹原理
我们以一个正方形台球桌为例，计算前几阶碰撞的轨迹，这个轨迹是用碰撞点在各边上的位置描述的. 由于上述的平行关系，我们利用相似三角形的比例关系求解. 但是我们得首先找到一阶反射的死点，在死点以上，反射会到达AD边，在死点以下，反射回到CD边，以后每次i阶反射都应该考虑死点，都有两种可能的i+1阶反射点的位置.
图2 死点分割轨迹
比如，上图中的一阶死点K，KB=2/3OB. 以橙线为例，令OB=1，O1’B=a，则，CO2’/CO1’=OB/BO1’,解得：CO2’=（1-a）/a. 而如果一阶反射点在死点以上，我们只需延长O1O2，交DC延长线，同样利用相似三角形比例关系即可求得O2.
图3 两种形式的相似三角形其解x2
令正方形边长为l，可得二阶反射点O2’C=x1计算公式为：
,而二阶反射点O2’D=x2计算公式为：
，容易得到几个回归解为：
图4 Tentative examples
2. Phybi死点猜想&循环解猜想
经过大量计算和画图，phybi得出以下结果：
2.1 X1等于奇数做分母的有理数
当x1=1时，显然是0阶死点，当x1=1/3，l=1，为一阶死点，l=2，为二阶死点；
当x1=1/5, 为2阶死点，当x1=2/5, 为3阶死点，当x1=3/5, 为4阶死点，当x1=4/5为5阶死点，同样，该规律在k=3时也得到验证.
图5 死点的阶数
于是得到如下两个猜想：
，必为死点.
的死点阶数为k+l-1
2.2 X1等于奇数做分母的有理数
当x1=1/2, 为3阶循环；当x1=1/4, 为5阶循环；当x1=3/4, 为9阶循环；
当x1=1/6, 为7阶循环；当x1=5/6, 为15阶循环；
图6 循环解的阶数
于是有如下猜想：
必为循环点.
，为2k+1阶循环点.
,的循环阶数为：2k+4l+1（？）
注：上5个假设中的分式，均已约分干净.
3. 研究展望
- X1=无理数的情况
- 对几个猜想的证明
- 混沌和各态遍历研究
2020.09.22 |
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发表于 2023-2-12 20:58:05