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我们的确能去怀疑骰子的每一方面：包括骰子本身、其表面的外形和纹理、投掷骰子的人等等。如果我们把这种分析推至极端，我们甚至会想知道所有这些因素分别会对几率带来多大影响。无论是投骰的过程还是骰子在表面上弹跳碰撞都和几率有关，它们是由理性力学的严格定义决定的。桌球也基于类似的原理，但从来没有人把它看成是一个与几率有关的游戏。那最终分析下来，几率是因为难使用、没经验，还是缺乏判断力呢？是存在在投掷者手里还是在观察者眼里的？
对桌球来说，我们可以很轻松地把它变成一个与几率有关的游戏。我们可以把桌子倾斜，在上面插上铁钉，让桌球能反弹和改变方向，然后把6个袋子放到桌子底部，又或者放在别的点上，使得这些球肯定能落入其中一个袋子里。由于我们不打算强调技巧，所以球桌上会有一个机械的触发器，玩家通过一个弹簧压下不同的力度把球发射出去。这个机械弹球的游戏的随机性和传统骰子就差别不大了。
——Ivar Ekeland，《The Broken Dice》 本章关键字：概率 确定性 vs. 不确定性 风险 宏观与微观不确定性 随机性介绍：不确定性（Uncertainty）
想像一下，假如你在开始游戏前就已经确定自己是赢家了，那你所感觉的成就感就很低了。你应该能想象到整个游戏会显得如何地漫无目的。
——Bernard DeKoven，《The Well-Played Game》 不确定性是每个游戏的重要特征。没错，的确是每一个游戏。正如游戏设计师兼哲学家Bernard DeKoven指出的，对游戏结果的不确定是赋予一个游戏目的感的必要组成。换句话说，不确定性是有意义玩乐的关键组成部分。
在这一章里，我们会从不确定系统看游戏。游戏是在两个层级上表现不确定性的：宏观层级对应于游戏的整体结果，微观层级对应于各个设计好的系统里的特定几率运算。虽然所有游戏都在宏观层级上呈现出不确定性，但并非每个游戏都在微观层级上呈现出各种元素的不确定性。正如我们将会看到的，玩家对不确定性的体验并不总是等同于实际的数学概率的。因此探讨这些关系，把宏观和微观不确定性联系起来，以及理解这两者是如何影响到有意义玩乐的设计的，这些都是我们在这个图式中的主要关注点。
那的确是每个游戏都会呈现出不确定性吗？不确定性这个词让人想起概率和随机性。然而游戏里并不需要骰子或者随机算法就能包含不确定元素了。如果你玩的是多人版的《光晕》，要对抗与你实力相当的多个玩家，那纵使这个游戏比的是技巧而不是概率，游戏的结果是不确定的。我们所说的不确定性是每个游戏的重要特征，这点是在强调DeKoven的这句话：在一个游戏里，最为关键的在于玩家不确定游戏会如何展开。想一下：如果你在游戏开始前就知道谁会赢了，那你还想玩吗？这正是为什么体育赛事总是现场直播的其中一个原因：假如剥夺了赛事里结果不确定的戏剧性，那我们就会对赛事失去兴趣了。
理解为什么游戏需要不确定性的一种方法是，假如一个游戏的结果是预先确定好了，则游戏体验是不能产生有意义玩乐的。如果一个游戏完全没有不确定性，也就是游戏的结果是完全预定好的，那玩家所作出的任何选择都是无意义的，因为这些选择不能影响到游戏的发展。有意义的玩乐源自于有意义的选择。如果玩家在游戏里的选择是毫无意义的，那就真没理由玩这个游戏了。
不确定性与有意义玩乐间有着天生的联系。不确定性往往被认为是削弱了玩家的意义，让他们选择和做主的感觉变淡了，然而矛盾的在于正是游戏不确定的结果使得玩家觉得自己的决策是对游戏有影响的。正如我们所知的，有意义玩乐是从这种决策与结果的关系里产生的。
从上层概念来说，一个游戏系统里一次不确定结果是与不确定性的微观层级有关的。不确定性包含了随机和概率这些具体机制，例如旋转轮盘机的轮盘，或者在游戏程序里产生一个随机数。这些具体机制和游戏结果相连的更上层的不确定感是同样重要的。在这两个层级的互相作用下，不确定性带来的有意义玩乐随之产生。
确定性、不确定性与风险
赌博现象的本质在于决策制定。决策制定的过程包含了从众多可选策略中挑选一种行为或者策略的过程。一次决定可能暗示了得打出一张牌，或者要加大赌注，又或者是一段时间的好运到头了……各种决策都可以根据行为和结果间的特定关系来划分归类。
——Richard Epstein，《The Theory of Gambling and Statistical Logic》 在《The Theory of Gambling and Statistical Logic》里， 数学家Richard Epstein谈到了赌博中不确定性的数学特征。尽管如此，他的研究是可以应用在所有类型的游戏里的。在他对决策制定以及行为与结果间的关系的强调中，Epstein进一步强化了我们谈到的一些核心概念。
在Epstein的书里，他提出了三类决策与结果间的关系，它们分别对应于三种不同程度的不确定性：也就是不确定、风险和确定。每一类对应于不同的决策－结果关系以及不同的游戏体验。一个完全确定的游戏基本上不能称之为游戏，玩起来肯定也没什么乐趣。这就像翻一枚硬币每次都无疑会翻到固定的一面那样。有时候确定性是基于背景的。在一局井字过三关里，如果两个人都完全熟悉游戏的逻辑，那结果是确定的：游戏总是会落得一个平局的结果。虽然玩家具体的决策都不是确定的，但游戏的整体结果如此。在一个完全确定的游戏里，有意义玩乐是不可能促成的。
Epstein的另外两种分类都能看作是游戏中的不确定性。风险指的是游戏中有部分不确定性，但玩家提前就知道了这部分是不确定的。例如在玩轮盘赌时，玩家要把筹码放在转盘可能转出的结果上，然后旋转转盘来得到一个随机结果。转盘的旋转有着一定的不确定性，但特定一种结果出现的概率以及赌注最终是赢得还是输掉的概率都是可以准确计算的。在轮盘上31个数字里，15个是红色，15个是黑色，还有一个（0）既不是红色也不是黑色的。如果你赌红色，那你有15/31（也就是48.39%）的概率能胜出并赌注翻倍。换句话说，在一个纯粹由风险决定的游戏里，你可以完全确定游戏里结果的不确定程度。
Epstein所说的不确定是指玩家对游戏的结果完全摸不清的情况。例如，设想你是一个一般水平的国际象棋玩家，你到网上与一个随机挑选的对手玩一局国际象棋。你是完全不知道你和什么人对局的。他可能是一个国际象棋大师，很可能会打败你，也可能是第一次学玩国际象棋的人，会被你轻松打败。你是无法预知到游戏的结果的。相比而言，如果你和一个经常跟你玩的朋友下一局棋，并且你清楚一般4局有3局是你赢的，那你对最终结果就很有概念了。但在不清楚对手的情况下，你是无法作出这样的猜测的。
虽然完全确定的游戏是很少见的（玩起来也没什么乐趣），但完全由风险组成或者完全不确定的游戏也是很少见的。大多数游戏都是一定程度的风险和不确定的组合。即使你清楚赢得你朋友的大概几率，你肯定也无法从数学上确定出你的绝对获胜几率。同时，虽然你清楚每次在轮盘上下赌注的确切风险，但在一整晚下来最终是赢钱还是输钱的情况你还是不确定的。
随机性的感受
轮盘赌和国际象棋都指出了不确定性中很重要的一方面。往往一个游戏的概率程度和游戏系统的实际数学数据是关系不大的，它更多与玩家在游戏中有着何种体验有关。当我们只看轮盘赌里的一轮时，游戏是一种纯风险的体验。但当我们把它看成是多轮以后输钱或赢钱的情况时，整个结果是更不确定的。类似地，对于那些在形式上不具备概率元素的游戏来说，我们也可以在游戏里产生不确定的感受。以下就有这么两个例子：
中国跳棋。当4个、5个，乃至6个玩家玩这个游戏时，游戏感觉是很随机的。随着游戏逐步展开，玩家不断地移动棋子，棋盘中心也变得越发拥挤，上面看似随机地摆满各种棋子。即使每一步在棋盘上的结果都是一个玩家对接下来该走哪里作出的一次策略选择也不改这种感觉。 如果你闭上双眼，等到轮到你的时候再睁开，看起来就像是棋盘被重新洗了一遍那样，特别是到了游戏中期棋盘中间都特别拥挤时。不过这种随机性的感受只是一种幻觉，因为游戏其实是没什么概率机制的。完全逻辑理性的玩家（这种人只会存在于假想情况里）不会感觉到任何的随机性：他们会看看棋盘，然后马上把每一步都转化回一系列的策略决策上。
然而对正常人来说，这种随机性的感受是让游戏玩起来有趣的重要组成。虽然不是每个游戏都是这样，但对中国跳棋来说，这种随机性的感受塑造了一种开放的可能性的感觉，玩家会因为利用棋盘上的随机配置而得到好处。让玩家能跳过其他棋子，如此反复多次地远距离移动，这条规则强化了棋盘上看似随机的布局。看破棋盘上从混乱中诞生的图案，把一个棋子跨越整个棋盘去来回跳出你的路径，这个瞬间正是精彩的有意义玩乐产生的瞬间。
SiSSYFiGHT 2000。在一个强调社交的多人游戏里，往往有着类似的随机性的幻觉。在SiSSYFiGHT 2000里，由于有很多玩家参与，这些玩家都有着自己的安排和策略，结果游戏通常看起来是随机的。不过就像中国跳棋那样，游戏本身并没有随机元素：玩家各种决策的结果是由逻辑而非概率决定的。
尽管如此，每一轮各种事件难以预料的组合正是游戏乐趣里的一部分。两个玩家可能会一起攻击第三个玩家，显得他们好像是联手合作的。但他们是否真的合作呢？如果不是，有没有概率事件会导致他们在将来的几轮里结成联盟呢？会有其他人注意到这点吗？这些可能性的复杂度会带来更高程度的不确定性。
要去掉这种随机性的感受不单需要完全理性的玩家，而且还需要这些玩家有通灵能力，能看穿其他玩家的想法，完全知道各种策略、竞技、情感以及其他因素会对他们的决策带来何种影响。但如果真是如此，谁还会玩呢？如果真要退化到这个逻辑核心，那SiSSYFiGHT 2000显然会失去很多吸引力。 这两个游戏都有着随机性的体验，虽然两个游戏在系统规则里都不包含概率机制。“随机性的感受”是某种神秘而又充满矛盾的事物。一局国际象棋从各种棋子间复杂的关系里也能产生随机性的感受，但它可能就不如中国跳棋所产生的随机性的感受了，并且它肯定不如抽签游戏所产生的随机性感受强。
这里的关键在于随机性的感受比随机性本身要更重要。你应该往游戏里加入多大的随机性呢？“随机性感受”的程度和游戏里实际的随机性是没有魔法公式的。然而，随机性的存在与否的确能左右一个游戏的方向。那些没有任何随机性感受的游戏会让人感觉枯燥乏味，并且游戏里的竞争感往往会比那些具有随机元素的游戏更强烈。另一方面，一个完全随机的游戏也会让人感觉混乱和无组织。在这两种情况里，其目标都是要在更上层的游戏系统中给予玩家有意义的选择。一个非随机的竞技游戏只要玩家有着同等机会去对抗对手，那也是很有意义的。一个完全随机的游戏只要让玩家在探索游戏系统的过程中能做出各种有趣的选择，能碰碰运气或者承受风险，那也能是有意义的。
游戏中的概率
本章至今为止都侧重在所有游戏都天生具备的不确定性的宏观层级上。如今我们更具体地看看概率的微观运作。对不确定性在数学上的研究称之为概率学。根据Richard Epstein所说的，“概率这个词根源于拉丁语probabilis，其含义是“类真相”，因此这个词从字面上来说是被语意曲解了。”[1]Epstein所说的“语意曲解”是指如果某样事物是“类真相”，那它事实上就不是真相。与此同时，真相肯定是某种类似的事物。
概率在语意学上有着如此矛盾的意义也是合理的。我们也看到不确定性在宏观层级上也有着它的矛盾性，例如在随机性不存在的时候却有着随机性的感受。不确定性的微观层级是以概率的形式存在的，它同样有着自身的矛盾之处。例如，概率在游戏里是一把双刃剑。一方面，游戏里的概率元素能产生随机性和混乱感，带来游戏中的不确定性。另一方面，概率的数学研究把未知的领域变成了已知的风险估值，提升了游戏中整体的确定性。
概率的数学研究起源于游戏。在17世纪，一个法国贵族Chevalier de Mere（这个人在现代会被看作是专业赌徒）把一个问题带到他的数学家朋友Blaise Pascal手里。De Mere想知道如何能在骰子游戏完成前就算出自己得到奖金的几率。在解决这个问题的过程中，Pascal建立了一个全新的数学分支，也就是概率论。De Mere的问题发展成如何在游戏的特定阶段中算出每个玩家获胜的概率。[2]
概率的研究演变成数学里一个很重要的领域，如今它已经远远不只是解决简单的百分比和赌博几率问题了。事实上，Epstein的书由于倾向于数学的一面，它为这个领域提供了很精彩的讲述。不过就这章来说，我们只会把概率的数学部分控制得尽量简单和直观易懂。
骰子概率
《Dice Games Properly Explained》是另一本以完全不同的方式去讲述游戏中的概率的书，它是游戏设计师Reiner Knizia写的。这本书除了对骰子游戏给出了极其详尽的介绍外，还包含了一章去介绍骰子数学理论的非技术模型，这个模型可以作为理解概率学的基础。以下部分的内容可能会过于浅显或者极为枯燥，这具体取决于你对数学的了解和热爱。但重要的在于希望这个图式能为你建立起一系列的基础概念，让你能顺利理解游戏中的概率原理。
我们要谈的概率的第一个例子是标准的六面骰，骰子每一面都分别标记了从1～6的6个数字。Knizia把这些从1～6的数字称为投骰子的基础结果（Basic Outcome）。每当你投骰子时，每种基础结果都有1/6（或者16.67%）的概率出现。如果你把所有基础结果的概率加在一起，那总和会是1（或者100%）。
Knizia列出了一个骰子上任意一种基础结果的三个特征：
- 所有基础结果都是同样有可能的。
- 这个过程总会产生其中一种基础结果。
- 所有基础结果的概率加起来等于1。[3]
组合结果（Combined Outcome）是把多于一种的基础结果组合起来的情况。要判定组合结果的概率，需要把基础结果加在一起。例如，在一次投骰中掷出偶数意味着掷出一个2、4或者6。这三种基础结果加起来是3/6，所以掷出偶数的组合结果的概率是50%。Knizia把掷出组合结果称之为一次“事件”（Event），并且总结到：“任意事件的概率是把期望的基础结果的数量加在一起，再除以所有可能的基础结果的数量。”[4]
当你掷出多于一个骰子时，各种结果的概率判定会变得更加复杂。Knizia提到，当使用两个骰子时，两种基础结果的形式会是A～B，前一个数字是第一个骰子掷出来的数字，后一个数字是第二个骰子掷出来的数字。两个骰子组合后所有可能的基础结果如下表1所示。
从上表中你能留意到像2～5和5～2这样的结果会对称地出现在表上，因为它们代表了不同的基础结果。两个骰子会产生36种基础结果，因此每一种结果的出现概率是1/36。当在游戏里掷出两个骰子时，游戏会用这两个骰子加起来的总和，而不是分别用这两个骰子的数字。我们可以像前面处理一个骰子那样地处理，得到掷出总和等于特定数字的概率。例如，要推算掷出总和为5的概率，我们可以把加起来等于5的基础结果数一下，它们分别是1～4、2～3、3～2、4～1。总共有4种不同的基础结果，所以概率为4/36=1/9，也就是11.11%。
那掷出两个同样数字的概率是多少呢？两个同样数字的基础结果有6种：1～1、2～2、3～3、4～4、5～5和6～6。结果有6种，于是概率为6/36=1/6，也就是16.67%。
把所有双骰子的结果写到一张表里能得到下表2。你能留意到从最低数字到最高数字的概率分布是从根本上不均等的。
我们能把Knizia这些基础原理用到各种各样的游戏设计情形里。例如，如果你的游戏要玩家翻一枚硬币，则两种基础结果分别是正面和反面，达成每种结果各有着50%的概率。又或者你设计的是一个电脑上的模拟游戏，游戏里使用大量的随机数字来决定事件的频率。也可能是设计一种特殊的卡牌游戏，需要在每一轮计算特定卡牌出现的概率。在以上所有场合里，整体的原理还是一样的。如果玩家翻3次硬币，3次都翻到正面的可能性有多大呢？如果手里抽到5张牌，5张牌的花色都一样的概率是多少呢？
如果你设计的游戏包含了掷骰、洗牌或者其他形式的随机数生成，那重要的在于你要理解概率相关的基础原理。不过，数学原理并不能让你设计出有意义的玩乐。如同游戏中的其他方面那样，其关键在于理解概率与玩家的决策和结果有着怎么样的关联。例如，在设计像《地产大亨》那样的桌游时，玩家的棋子会在棋盘跑道上循环跑，那你该如何确定棋盘上的格子数呢？《地产大亨》是有着40个格子的。由于两个骰子的组合结果的平均值为7，所以平均下来需要6次掷骰才能跑完棋盘的一圈。这意味着到了第7轮时，有一部分玩家会很可能已经开始第2圈了，他们已经开始走到别的人的地产上了。如果你做出来的游戏有着类似的结构，那在设计棋盘时也要利用骰子来做出适合你游戏的事件节奏。
概率与游戏玩乐过程
概率与游戏玩乐过程间有着奇妙的关系。一种定义概率的方式是玩家完全放弃了控制，必须得被动地接受游戏随之产生的结果，这点在纯概率游戏里尤其明显。正如人类学家Roger Caillois在《Man, Play, and Games》一书中提到的，概率“揭示并代表着命运的眷顾。玩家是完全被动接受的：他无法施展自己的资源、技巧、力量和智慧。他能做的只是在希望和彷徨中等待，等着骰子停下来。”[5]
我们对Cailois所说的话有着很多的不赞成。Cailois描述的情况可能的确是准确刻画出一部分玩家对游戏概率的感受，但也有很多基于概率的游戏是能给予玩家各种选择和有意义玩乐的。即使是在一个纯概率游戏里，一个设计精良的游戏也会不断给予玩家选择的机会。从某种程度来说，有意义的玩乐需要玩家主动地参与到游戏里，不断作出各种选择来产生有意义的结果。那些什么都做不了，只能“在希望和彷徨中等待骰子停下来”的玩家是无法参与到有意义的玩乐里的。
让我们再次回顾一个再熟悉不过的游戏：《滑坡与梯子》。从形式上来说，这是一个纯概率的游戏。在你的回合里会掷出骰子，相应地移动棋子，然后把骰子传给下一个玩家。玩家在游戏过程中不会做出任何策略性的决策。然而《滑坡与梯子》是一个很有趣的游戏。即使不考虑游戏能提供的社交、叙事和文化形式上的快乐，这个游戏也有着很多种方式能通过游戏玩乐中的形式因素来产生快乐：
- 机制上的快乐：跻身于一个游戏系统里，通过投掷骰子、数格子和移动棋子来促进系统前进。
- 不确定性：不知道谁会赢，不知道谁会跌跌撞撞地先冲到终点。
- 滑坡与梯子本身也会加强前两种快乐。一方面，滑坡与梯子能产生飘忽不定的行为，让系统机制本身更丰富，玩起来更有乐趣。此外，它们还能造成意料之外的运气逆转，大幅增加了最先冲到终点的人的戏剧性。
虽然几乎所有游戏都具有前两个特征，但要把这两种快乐利用到有意义玩乐的促成上是很有挑战的。在《滑坡与梯子》里，正是滑坡与梯子本身成为了游戏的形式结构中产生乐趣的关键要素。设想当这个游戏没有了滑坡与梯子时：你只能投掷骰子、移动棋子，再看看谁先去到终点。从游戏的角度来说，这个体验太平淡了。滑坡与梯子正是塑造出一种结构，以之产生更有意义的玩乐——虽然这个过程并没有包含任何真正的选择。
怎么会发生这种情况呢？你可以想象一下游戏的流程是如何展开的。在没有了滑坡与梯子上上下下的关系后，玩家的分数会以粗略等同的速度缓慢累积。玩家可能会大幅超前或者远远落后，但游戏的模式会一直都很平淡，因为每个玩家在每轮只能往前移动1～6个格子。事实上，如果一个玩家足够领先或者落后于其他玩家，那他平均来说就很有可能停留在那里，这会进一步削弱戏剧性的不确定感。但滑坡与梯子能提供远大于投掷骰子能造成的位置改变，这种跳跃能扰乱原本平淡的游戏过程。
关于纯概率游戏的另一个截然不同的例子是抽奖类游戏。抽奖游戏的基础玩法是极其简单的：挑选一个数字或者一系列数字，然后等着看看你挑选的数字有没有被选中。同样，乍看之下很难想象这么简单的一个游戏会有如此的吸引力。然而，虽然抽奖是一个纯概率的游戏，但其中玩家有很多做出选择的机会：包括挑选一种抽奖游戏去参与、挑选一个数字或者一组数字、选择参与一个抽奖游戏多少次，甚至是（对常规玩家来说）在一段时间里选择一种策略模式。很多抽奖游戏都提供额外的选择，例如在一张抽奖卡上选择“刮奖”的位置。每一次选择都是一次有可能造就有意义玩乐的事件。参加抽奖的玩家往往会用精心制作的系统去帮助自己挑选数字，这个系统是基于过去的中奖号码、他们的生日、随机直觉，或者是其他数学上的推测来实现的。当玩家探索各种可能选项的空间时，简单选择哪一个数字的行为也附有意义。当然，赢钱的机会无疑是抽奖游戏最吸引人的一点。不过，它不是这个游戏里促使玩乐有意义的唯一因素。促使玩乐有意义的因素还包括让玩家能对抗命运，不断对赢钱充满希望，并且能有机会去驾驭系统的概率。
我们从《滑坡与梯子》或者《抽奖游戏》这样成功的纯概率游戏里能学到一点：有意义玩乐能从那些实质上并不能作出策略决策的系统里产生。在纯概率的游戏里，玩家与游戏系统的关系是需要仔细设计的。每当玩家与系统接触时，系统中应该表现并强化有意义玩乐的可能性。
案例研究1：Thunderstorm
虽然《Dice Games Properly Explained》有完整一章是谈骰子的概率理论的，但这本书大部分内容都是描述和分析上百个骰子游戏的。这些游戏从简单的孩童游戏到复杂的赌博和洗牌游戏。其中一些是Knizia自己设计的，其余大部分都是传统游戏。以下是从《Dice Games Properly Explained》里摘录的两个简单的游戏案例，它们清楚示意了如何成功地把概率融入到游戏玩法里。
Thunderstorm
这是德国一个很受欢迎的家庭游戏，当地称之为Gewitter。你需要在闪电最终到来之前达到需要的目标数字或者看着闪电越来越近。游戏里可以有任意数量的玩家参与，在4～8人的情况下效果最佳。你需要6个骰子和1本笔记本。
目标。游戏的目标是在每一轮产生至少一个1，成为游戏里幸存到最后的玩家。
玩法。由一个玩家先开始，而后顺时针逐个展开。第一个玩家掷出6个骰子。随后的玩家能掷的骰子可能越来越少，甚至可能只能掷一个。
- 如果你掷出的骰子里包含至少一个1，那你就安全了。你把所有1的骰子放在一旁，把剩下的骰子交给下一个玩家。如果你掷出的都是1，那就恢复6个骰子，把它们都给下一个玩家。
- 如果你掷出的骰子里不包含1，那你本轮就失败了，要把骰子交给下一个玩家。在游戏过程中，每个玩家会画出一座由6条线段组成的房子。每当你一轮失败时，你的房子会增加一条线段。当你的房子完成并且再次失败时，你的房子就会被闪电劈中，然后你就得离开游戏了。
游戏会一直持续到只有一名玩家留下。该名玩家获胜。[6]
Thunderstorm就像滑坡与梯子那样，是一个纯概率的游戏。玩家在游戏里没有任何策略性和战术性。然而它是一个很吸引人的游戏，因为在多个层级上都有着有意义的选择和结果。在掷出骰子和房子的绘画过程间是有着很棒的信息转换的。这个房子的图画提供了很清楚的对比记录，显示出各个玩家在游戏里的相对位置。
虽然Thunderstorm是一个纯概率的游戏，但玩家在每一轮面对的概率都是不一样的。当你掷6个骰子时，你的投掷是相对安全的，很有可能能掷出一个1。然而，当前一个玩家只交给你一个骰子时，你掷出1的概率就低得多了。在最初，各个玩家掷骰子都是相对安全的，一次能掷出很多骰子。这过程中偶尔会有一个玩家不幸地没有掷出1，但对于前面掷出4个、5个和6个骰子的玩家，他们掷出1的概率是大于50%的。在1出现后，这些1的骰子会从能掷的骰子里移除，由于掷出1的概率随之下降了，紧张感随之而生，游戏也因此加快节奏。此时可能会挺长时间保持1个骰子的情况，这时大家都一直没有掷出1。而后突然有人掷出1了，避免了要在房子上多添一笔，接下来下一个玩家重新能掷6个骰子。
从玩家的角度来说，你对这个过程会有两方面的感受。首先你会很高兴看到其他玩家只能掷出一个骰子，并且掷不到1，然后在他们房子上多加一笔。但另一方面，当骰子走了一圈越来越接近你后，你会希望有一个玩家能掷出1，因为这意味着下一个玩家能掷出6个骰子，使得你更有可能在自己回合里掷出更多骰子。这种形式结构的不确定性导致游戏有着一个吸引人的动态节奏，这个节奏是以数个互相交叠的循环出现的：
- 每一轮都会有一个玩家掷出骰子，这确立起游戏的常规节奏。
- 在这个节奏之上，骰子数从6变到1再回归到6，这个循环会持续多轮，在一局游戏里会重复多次。
- 每个玩家还会不断对房子进行线性递增的搭建过程。虽然这个搭建过程的元素的出现顺序对所有玩家都是一样的，但其搭建节奏对每个玩家都是不同的。
- 第四层循环出现在游戏尾声，玩家开始一个个地离开游戏，由玩家围成的圈子也逐渐闭合，直到留下最后一栋房子，该房子的玩家胜出了。
整体结果产生了一个有着戏剧般必然性的很刺激的游戏——所有房子都会被摧毁，但最后必然留下一栋。而Thunderstorm做得最好的一点是，所有这些复杂度都是源自于一个简单的纯概率游戏，游戏里没有任何赌博的元素。Thunderstorm是一个很好的例子，它给予玩家一个丰富的概率系统，产生出惊人的有意义玩乐。
案例研究2：Pig
Pig这个游戏和Thunderstorm不同，它在游戏的概率背景上提供了选择。正如Thunderstorm那样，Pig也展现出如何能用极大量的不确定性设计出一个能产生有意义玩乐的系统。《Dice Games Properly Explained》一书中对它的描述是这样的：
Pig
这是一个概念很简单的有趣的家庭游戏。你掷出一个骰子，并不断把上面的数字加到你的总和里。如果你一直这样加，直到你掷出一个1，那本轮所得的分数都会失去。游戏可以有任意数量的人玩，最佳人数是3～5人。你需要1个骰子和一本笔记本。
目标。游戏的目标是避免掷出1，同时成为第一个达成100分的玩家。
玩法。从一个玩家开始，而后顺时针地进行。在你的回合里掷出骰子：
- 当你掷出1时，失去本轮及本轮得到的所有分数。
- 当你掷出其他数字时，你能得到相应的分数。
- 只要你能得到分数，你就能继续一遍又一遍地掷骰。你需要宣布你积累下来的分数，让其他人都能知道你的回合得到了多少分。你可以随心所欲地掷骰。你的回合会在以下两种情况下结束：
- 如果在你掷出1之前决定结束本轮，那就把你积累下来的分数记到本子上。现在这些分数是稳妥地算到游戏里的。
- 如果你掷出了1，则你失去本轮及本轮积累的分数。
把所有分数都记在本子上，不断为每个玩家计算总和。第一个总和超过100的玩家胜出。[7] 对Pig这个游戏来说，值得我们去注意的第一点是它以一个很简单的结构创造出有趣的游戏选择。游戏的核心在于避免掷出1，这实际上是Thunderstorm的颠倒版，在Thunderstorm里玩家都希望掷出1。在Pig里，玩家必须对自己想要不断掷骰的渴望以及掷出1的风险相平衡，当各个玩家积累的分数越来越高时，玩家选择再掷一次的可能性也越来越高。
我们可以从数学上来分析这个游戏。从概率的角度来看，掷出1是一个概率为1/6的基础结果，这是玩家的致命咒语。这意味着每当你掷骰时有5/6的概率（83.33%）是安全的，反过来说，也就是有1/6的概率（16.66%）是会掷出1的。然而，虽然每次掷骰单独来看其概率都是一样的，但当你越多地掷骰后，你最终掷出1的可能性也越大。如果你提前决定掷骰两次，那有11种方式你会掷出1（1~1, 1~2, 1~3, 1~4, 1~5, 1~6, 2~1, 3~1, 4~1, 5~1, 6~1）。这加起来也就是在两次掷骰中会有11/36的概率（30.56%）会掷出1。
每当你再掷骰一次时，你掷出1的整体概率就会增加，而只要你掷出一次1，你在本轮积累的所有分数都会抹除。每次你都会面对掷和不掷的戏剧性选择，当你掷骰时，你会增加得到更多分数的概率，同时也会增加分数清零的概率。但由于你能控制到底要不要掷多次，所以你是清楚自己承担的风险程度的。Knizia在下表里列出了多次连续成功投掷的概率。他还算出了特定数量的投掷数能赚得的分数点的平均情况，这是用4来作为每次掷骰所得的平均分数的（因为每次掷骰你能赚得的分数范围为2、3、4、5和6）。详细参见下表3。
按Knizia的建议，在Pig里的最佳策略是一旦得到20分以上后就停止掷骰。不过他也提到，一个优秀的玩家需要把其他玩家的进展也考虑在内。Pig这个游戏的形式策略有着两个相反面。一方面，对单个玩家来说，他会尽力去对抗概率，尽可能在每轮把自己的分数最大化。但这种每时每刻的决策制定过程也依赖于其他玩家分数的大背景。换句话说，当你不断落后时，你可能想靠赌一把运气来急起直追，当你失败后，你会不得不承担更多的风险来挽回败局。然而当你处于领先地位时，可能你会玩得越来越谨慎。但这样却会让其他玩家更容易追上你。
Pig是一个有着优雅设计的游戏，因为玩家决定要不要掷骰的简单选择会关联着游戏里多个互相交错影响的方面。最终结果是产生出一个简单得让人吃惊，有着深度策略性和逐步提升的戏剧性的好游戏。Pig是一个很好的例子，它向我们展示了如何把纯概率通过简单选择来转化到游戏里变成有意义的玩乐。你觉得你游戏里的选择能像Pig里掷骰的选择那样有意义吗？
不确定性的问题
运气正是命运中最后仅存的希望。它正是尝试最后的概率，是每个人都参与的过程……从这点来说，我们不单可以把概率游戏看成是不能挽回的命运的模型，而且还能看作是对命运进行幻想的过程。
——Brian Sutton-Smith，《The Ambiguity of Play》 如今已经接近我们对经典概率运作的简要介绍的尾声了。但在完全结束这个主题之前，我们希望讨论一下我们确实认为概率无法处理的一些情况。正如我们在前面谈到的“随机性的感受”里看到的，概率的实际运作并不总是与玩家的体验或者诠释相符。从有意义玩乐的设计的角度来说，理解玩家的视角是最重要的。所以接下来几节里我们会谈谈概率的三大问题：电脑上的随机性、概率过程的策略操纵，以及对不确定性的常见误解。
问题1：电脑随机性
如果你设计的是电子游戏，那重要的是你要清楚计算机程序是如何产生随机数的。电子游戏会经常用到随机算法，这些算法可能是用来确定哪个玩家先行的，可能是用于产生游戏里一关的背景纹理的，也可能是用来为游戏里一个智能体的行为作随机化的。然而讽刺的一点是计算机是不能产生随机数的。它们所执行的算法能产生看似随机的结果，但它们没有能力产生纯粹的随机。为什么会这样呢？John Casti给出了他的解释：
回归到计算机早期年代，产生一串随机数的一种较为流行的方法是遵循如下步骤的：
1.在0～1之间挑选一个起始数字。
2.把起始数字×4（扩大它）。
3.把第2步得到的数字减去起始数字的平方，如此减去4次（把这个数折叠多次，让最终结果保持在同样的范围内）。
对于0～1之间任意一个起始数字，我们都能用这个过程来产生一串看似完全随机的数字。例如，在这样一个数字序列里，从0～9这10个数字每个都是以同样频率出现的，且各组数字之间的统计相关性为0。然而，你能留意到，这个序列中的数字是完全由起始数字决定的，因此这个序列就我们对无法预测的常识来看，它肯定不是随机的：一旦我们知道起始数字以及从父数字计算出子数字的规则后，我们就能充满信心地预测出该序列里的每一个元素了。[8] 虽然Casti用的是过去的一个例子，但当今计算机程序产生随机数的方式并没有根本上的区别。计算机永远不能算出纯随机的数字，因为它们提供的数字总是某种算法的结果。计算机程序能在内部“翻硬币”去决定一个电脑控制的角色到底是向左转还是向右转，其概率是等同的，但程序是在不断迭代一个确定性的公式去从表面上模拟随机翻硬币的过程。随机数的产生是计算机科学里一个很大的命题。我们在这里并不打算深入其细节，只是想指出它是有着一个很有挑战的矛盾点的。并且尽管如此，就大部分游戏设计而言，计算机能产生的随机性已经足够随机了。
通常来说，详细理解计算机如何算出随机数的原理并不是游戏设计师必须知道的。但你至少应该永远记住一点：随机函数并不是永远有效的。Eric曾经参与过一个关于微生物群落（类似流体环境中的生物，这个游戏从来没有发行过）的游戏原型。这些微生物会生长、繁殖、死亡、聚在一起在环境中寻找食物。虽然它们展现出复杂的行为，但这些微生物到底为什么在做当前在做的事是大概显而易见的。然而游戏里有一点是很让人困惑的。这些微生物总是想往2D环境中的左上角移动。设计师最初以为自己偶然发现一种真正自发性的行为模式了，但他们还是完全无法弄懂到底是什么产生这种现象的。这是跟食物繁衍的方式有关吗？还是跟玩家操纵鼠标的方式有关？与此同时，微生物这普遍而又必然性的移动方式让整体行为太过容易预测，彻底破坏了游戏的体验。
最终，他们发现这种自发性行为是由随机函数的一个漏洞引起的。在每一个时钟周期，微生物都会往16个方向的其中一个移动。即使它们能感知到周围当前的环境并做出相应移动（向着食物移动并远离危险），但程序还是会以随机输入来权衡它们的决策。问题在于由于程序上的疏忽，程序在最初把左上角算在函数内，而后又在函数结束时再把左上角算了一次，使得随机生成器在挑选左上角的概率上是其他位置的两倍。纵使这个失误所增加的额外概率是很小的，然而由于系统的复杂度，其自发性效果就很强了。当这个随机生成器修正过来后，这种角落偏移的现象也得以缓解了。那从中能得到什么教训呢？即使你不是计算机程序员，你也得理解随机性在你的游戏程序里是如何运作的。
问题2：策略化概率
概率另一个没有料想到的情况是发生在把概率变成策略的时候，也就是让玩家能在游戏过程中去操纵系统中的不确定性时。游戏里的玩家仅仅是从表面上去理解随机性还是真的把概率用到策略里呢？在《The Study of Games》一书的“Strategies in Counting Out”一文里，民俗学研究者Kenneth Goldstein在1967年观察了费城西北地区4～14岁小孩操纵概率运作的过程。他的研究侧重于数人游戏（counting-out game），例如在踢罐子（Kick the Can）这种邻居间孩童玩的游戏里，小孩们用“eenie-meenie-miney-moe”的大声喊数字数人头的方式来决定谁是踢罐子的人。
数人游戏通常不会被认为是一个游戏：它只是用来决定将要展开的游戏中特定角色的过程。不过在我们的定义下，我们能把它看作是一个简单的概率游戏。在数人游戏里，一个玩家成为计数人，游戏的目标是避免被挑中成为特定角色。其可计量结果需要有一个玩家被选为该名角色。数人过程的前提是有一种能随机选出一名玩家的数数方式。以上正是Goldstein在采访小孩子时他们对这种数人游戏的行为的描述。然而，在他的文章里的结论是，尽管小孩子都把数人游戏说成是一个纯概率的运作过程，但他们还是用复杂和细微的策略去达成自己想要的结果。
以下是Goldstein观察到的6种常见的操纵方式。其中很多种方式都需要复杂的数学技巧才能在如此一群参与者人数不断变化的人群中使用的。[9]
（译注：Counting out游戏需要一个人指着一圈玩家中的每一个参与者，边指边说出一段押韵语。押韵语是把有着类似音节的两个以上的词的重复。每当说出押韵语中的一个词时就会指到一个新的人。当押韵语最后说到“it”或者“out”所指向的玩家时，该名玩家被选中。例如以下的Eeny, meeny, miny, moe就是一段常用的押韵语：
Eeny, meeny, miny, moe,
Catch the tiger/monkey/baby by the toe.
If it hollers/screams let him go,
Eeny, meeny, miny, moe, you are it!
当说到it时指向的玩家就是被选中的玩家了）
特殊押韵语：这个策略很直观易懂，它需要数数的人挑选一段有着特定长度的押韵语，这段押韵语是要最终能达成希望的结果的。
押韵语的扩展性：这段用来数数的押韵语是成模块和可扩展的，当押韵语将要结束，而将被指中的人是不想选中的人时，数数人就可以自然地增加一段短语或者押韵语来凑够合适的长度，达成不一样的结果了。
跳过常规的计数：当数数的人要被选中时，他会直接跳过自己继续绕圈数下去。虽然这是最常用的技巧，但也是最显眼和最不受欢迎的。
停止或继续：由于大多数押韵语是不会指定到底是用“it”来选中玩家还是用“counted out”来选中玩家的，对于后者来说，押韵语说到“it”时是安全的，此时数数人完全可以在第一名玩家被选出后才决定代表选择的指定词。
改变位置：这种数学性策略需要数数人能暗地里切换到圆圈中新的位置，以便于能把下一名玩家选成是“out”的人。
通过换一个词来缓刑：这是一种很无耻的逃避策略，玩家会直接说出“safe”或者“free”来免除在本轮中被数中。允许这个技巧的队伍一般都会对此作限制，例如每轮只允许这么干一次。
数人游戏的矛盾之处在于虽然玩家都会把它看作是一个概率游戏，但它是有着很丰富的策略组成的，有经验的玩家可以利用这些策略来达到自己的目的。这个例子以及软件中的概率运作都是为了说明随机性和非随机性之间的差别往往比它们看起来要更微妙。当你设计一个游戏时，密切留意用来决定随机性的过程，确保它们的运作方式是如你所想那样的。当然，这些例子所证明的更大的问题在于当你设计游戏时，玩家总是把游戏以特殊的方式在特定的背景下展开。在后面《打破规则》和《从社交玩乐看游戏》这两个图式以及文化部分的多个章节里，我们会更详细地探讨这些复杂个案所衍生的体验和上下文背景的问题。
问题3：概率误解
关于概率的第三个问题并不是和计算机软件或者概率策略有关的，而是玩家对随机性的理解和概念化有关的。你可能做出了一个游戏是包含特定类型的概率的，并且最终把这些传达给玩家。但这并不意味着玩家会准确理解游戏中概率的运作方式。
玩家很少会像你那样能掌握游戏系统里的随机函数的。玩家和大众往往都会在遇到概率运算后就头疼于一大堆数字并对之有各种各样的误解。以下是从Epstein在《The Theory of Gambling and Statistical Logic》一书中列出的各种误解的长清单里截取的一部分。[10]
- 对高风险大赌注估值过高。玩家往往都会对“高风险大赌注”有着过高的估值，这种赌注有着很低的概率能获得很高的收益，它是相对于那些能有很高概率能获得低收益的“安全”赌注而言的。
- 认为连续事件的概率是用加法。例如，用1个骰子掷出一个1的概率是1/6（16.67%）。但用两个骰子掷出一个1的概率不是如你第一眼乍看的是2/6（33.33%）。正如我们从前面的概率理论里了解到的，它的概率是11/36（30.56%）。它们区别在这个例子里可能看起来很小，但在连续多次迭代后，实际概率和玩家以为的概率之间就有很大差别了。
- 蒙特卡洛症。这点是指，当你经历了一系列的输钱后，你总觉得很可能会赢钱了，或者是反过来的心态。换句话说，如果轮盘赌刚出了一个黑色的数字，那不等于下一个数字就是红色的。
- 过分强调好结果。对于特定一种不太可能发生的负面结果和一种同样不太可能发生的正面结果，人们往往过分强调后者。Epstein举了在第二年赢彩票和在车祸中丧生这两种情况作为例子。两种情况都有着同样的发生概率（1/10000），但尽管如此，大多数人都是相信赢彩票更有可能发生。
- 两次被雷劈中。这点与上一点是相关的，人们往往都认为那些极不可能发生的负面事件是不会重复发生的（例如不会两次被雷劈中），但极不可能发生的正面事件却会再次发生（例如在老虎机里大赢特赢）。事实上，随机事件出现的概率与过去出现的频度是没有任何关系的。
- 运气。从纯数学的角度来说是没有所谓运气这种东西的。人与运气无关，骰子与运气无关，咒语与运气无关，日历上的日期也与运气无关。然而，大多数人都认为运气是存在的，甚至是有经验的玩家也这么认为。
以上每一种误解都对游戏设计有着重要的影响。例如，以高风险大赌注为例。如果你的游戏能让玩家在高风险大赌注和安全赌注间选择，那你应该能预期到大部分玩家会采取高风险大赌注，因而你得对形式系统作出相应的平衡。过分强调好结果和两次被雷劈中这两种误解会让玩家在游戏中过于乐观，认为好事情有着更高的概率。即使玩家已经碰到过一系列的霉运，这些误解也会让他们一直期盼着下一秒的。
这里要学到的更重要的一点是在你设计一个有着随机元素的游戏时，你不单要理解概率的可能性机制，而且还得明白玩家解释或者误解这些机制的方式。以上概率的三大问题指出了游戏设计时需要避免的陷阱。另一方面，在游戏设计开始时都应该把这几个问题考虑上：
- 计算机事实上不能产生真正的随机性。那为什么不把游戏做成其随机性的运作本身就是故意不平衡呢？或许看上去像是随机生成的一串数字实际上是需要破译的秘密代码。又或者在游戏世界的某些场所里，玩家能改变概率的运作来得到优势。
- 概率运作在急功近利的玩家手里的确会成为策略性元素。你完全可以设计一个游戏是玩家可以合法地构建或修改游戏里的“随机”元素的，例如能花钱去影响骰子掷出的结果，或者让玩家有能力去有策略地叠出一叠卡牌。
- 事实上玩家就会折腾在各种的概率误解上。你可以围绕其中一种误解来设计游戏。例如做出一个围绕运气为主题的游戏，让玩家能自己挑选幸运数字和不幸数字，不断掷骰子来避开不幸数字并靠幸运数字来得分。
游戏设计中你所想象的任何一条规则都有可能被破坏，我们会在后面的《打破规则》一章中了解到这点，而打破的设计规则往往能引领出创新性的游戏设计创意。
有意义的概率
然而一个游戏中的概率是永远不会必然如此的。而正是这点让游戏变得有趣。不单因为概率造就了可能性，即便是这些概率是对我们不利的，我们设定它们也是有价值的。并且进一步而言，有可能原本看起来显然不是很好的概率值，在玩家明显的自信下会变得很好。这正是一种比信心的游戏。它们让玩家有机会能显示自己与概率一拼高下的能力，且为此提供了相应的奖励——在战胜概率后，玩家会感觉掌控了自己，也掌控了整个游戏。
——Bernard DeKoven，《The Well-Played Game》 在从不确定系统的角度去思考游戏的过程中，我们了解了概率运作的微观层级和游戏整体不确定性的宏观层级。从这两个层级能了解到的很重要的一点是，单靠不确定性的纯数学运作是不足以了解一个游戏的机制中概率的丰富性的。
正如DeKoven提到的，玩家会与游戏中的系统交互，承担各种风险，摆下各种赌注，然后计算着各种几率。与此同时，系统也响应着玩家，制造各种需求，不断奖励和惩罚，并要求玩家充满信心。在从形式系统去思考游戏的过程中，我们最终无法把游戏的形式系统与玩家操纵和寄居系统的方式割离。这对概率运作也是一样，它是用于产生复杂度的。不确定性是在旁观者的眼里的，或者是在玩家的玩乐过程中的。
进阶阅读
《The Broken Dice and Other Mathematical Games of Chance》，Ivar Ekeland
《The Broken Dice》这本书一部分是谈哲学、一部分是谈数学，还有一部分是谈民俗的，它是一本从多种视角去探讨概率和命运的哲学问题的书。书中尤其相关的是Ekeland对计算机不可能产生随机数的分析。
推荐章节：
Chapter 1: Chance
Chapter 2: Fate
Chapter 5: Risk
《Dice Games Properly Explained》，Reiner Knizia
这本书是桌游设计师Knizia写的，它囊括了超过100种骰子游戏的描述和分析，而其中一些游戏是作者设计的。它还包含了一章能运用到骰子上的概率理论，也是本章中引用到的非技术例子。书中介绍的骰子游戏包括纯概率的游戏以及极有策略性的游戏，也是室内游戏很好的参考源。
推荐章节：
Chapter 3: The Theory of Dice
《The Jungles of Randomness: A Mathematical Safari》，Ivars Peterson
Ivars Peterson写了很多本畅销的数学类书籍。在这本半玩笑的著作里，他解决了随机性和概率的两难矛盾。他在书中通篇给出了很多游戏参考，而下面列出的一章包含了对《滑坡与梯子》这个桌游的布局的独特分析。
推荐章节：
Chapter 1: The Die is Cast
总结
- 不确定性是每个游戏里的关键元素。如果一个游戏是完全确定的，那玩家的行为对游戏的结果就没有任何影响了，因而也无法在游戏里促成有意义的玩乐。
- 一个游戏里不确定性是在两个层级上运作的。在微观层级上是概率的实际运作，它是在游戏系统中各个孤立的时刻里出现的。在宏观层级是不确定性更上层的问题，它和游戏的最终结果相关。
- 游戏的一次结果和一次决定间会有三种不同程度的不确定性关系。一次确定的结果是完全预先确定好的。一次风险结果是有已知的发生概率的。而一次不确定结果是玩家完全不清楚的。我们很难找到一个游戏是完全确定、风险或者不确定的。大多数游戏都是风险和不确定性在一定程度上的结合。
- 即使游戏系统里没有实质的随机机制，游戏还是可能具有“随机性感受”的。这种感受根源于策略和社交上的复杂度，而这些复杂度是无法提前预知的。
- 一个几乎没有随机性感受的游戏会显得枯燥或者太具竞技性。但万一随机性感受太多了，游戏就显得过于混乱了，会让玩家感觉很无力。游戏中到底该加入多少的随机性是没有魔法公式的。在所有情况下，关键在于创造出能利用游戏结构中独有优势的有意义玩乐。
- 当设计一个有着概率元素的游戏时，关键在于理解概率的基础数学原理以及它们对你所设计的系统的影响程度。
- 即使是纯概率的游戏也能提供有意义的游戏玩乐，只要你给予玩家有意义的机会去在游戏系统里行动就可以了。
- 不确定性的运作会以多种出人意料的方式去“破坏”游戏里的各个系统：
- 由于计算机程序无法产生真正的随机性，游戏设计师应该对游戏里随机数的生成算法抱有一定的怀疑心。
- 玩家有时候会利用游戏中的某种随机元素，把它作为一种策略性行为使用。
- 人们对概率有着很多常见的误解。
[1] Richard Epstein, The Theory of Gambling and Statistical Logic (San Diego: Academic Press, 1995), p. 43.
[2] Elliott Avedon and Brian Sutton-Smith, The Study of Games (New York: John Wiley & Sons, 1971), p. 383.
[3] Reiner Knizia, Dice Games Properly Explained (Tadworth, Surrey: Right Way Books, 1992), p. 62.
[4] Ibid. p. 63.
[5] Roger Caillois, Man, Play, and Games (London: Thames and Hudson, 1962), p. 17.
[6] Knizia, Dice Games Properly Explained, p. 26–27.
[7] Ibid. p. 128–29.
[8] John L. Casti, Complexification: Explaining a Paradoxical World Through the Science of Surprise (New York: HarperCollins, 1994), p. 93.
[9] Kenneth Goldstein, "Strategies in Counting Out" In The Study of Games, edited by Elliott Avedon and Brian Sutton-Smith (New York: John Wiley & Sons, 1971), p. 172–177.
[10] Epstein, The Theory of Gambling and Statistical Logic, p. 393–394. |
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发表于 2022-12-30 16:51:50